Periodo 4

Factorización:

En matemáticas, la factorización (o factoreo) es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Noción De Factorización:

   La factorización es la operación que consiste en encontrar los factores en los que se descompone un número.

        Para descomponer en factores un número o una expresión algebraica, se deben buscar todos los factores primos contenidos en dicho número o expresión.

        Cada uno de los divisores de un número o expresión algebraica es un factor de dicho número o expresión.

        Para que un divisor sea factor primo debe ser divisible únicamente entre sí mismo y entre la unidad.

        Ejemplo:

        Descomponer en factores primos las siguientes cantidades:

        a) El número 18, uno de sus factores es 9, pero 9, es divisible entre 3, por lo tanto no es un factor primo, otros factores son 3 y 2; estos son factores primos.

        b) La expresión 8a³b².

8a³b² =2x4a³b²
4a³b²=2x2a³b²
2a³b²=2x a³b²
a³b²=(a) (a) (a) (b) (b)

        Por lo tanto, los factores primos de la expresión 8a³b²=(2)(2)(2)(a)(a)(a)(b)(b) son: 2, a, b.

        A los monomios que se descomponen en factores iguales se les denomina cuadrados perfectos.

Factorización De Monomios:

La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.

Ejemplo. Factorizar el monomio 24xy³z².

24xy³z² = 2 • 2 • 2 • 3 • x • y • y • y • z

Ejemplo. Factorizar el monomio -35a³b.

-35a³b = -1 • 5 • 7 • a • a • a • b

Factorización Por Factor Común:

Para Factorizar polinomios hay varios métodos:
-Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
a. (x+y) = a.x + a.y
-Cuando nos piden sacar factor común o simplemente Factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden Factorizar la expresión 36X2 - 12X3 +18X
Sacamos el máximo comun divisor a 36, 12 y 18= 6,
este 6 se coloca delante de los paréntesis, coloco la X porque los tres tiene X. Divido 36/6 =6, 12/6 =2, 18/6 =3 y estos resultados los coloco dentro de los paréntesis con la x restándole una, ejemplo 6x. 6x = 36X2, 6x. 2x2 = 12X3, 6X. 3 = 18X
6X (6X - 2X2 + 3)= 36X2 - 12X3 +18X
Ejercicios:
3X2 - 6X + 9X4 = 3X (X - 2 + 3X3)
2X3 - 4/3X2 + 2X = 2X (X2 -2/3X + 1)

Factorización De Binomios:

Un binomio de la forma a² - b² se conoce como diferencia de cuadrados. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raíz cuadrada) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorización de una diferencia de cuadrados son unos binomios conjugados y para realizarla se debe usar la identidad algebraica

a² - b² = (a + b) (a - b)

Ejemplo. Encontrar los factores de x² - 9.

• El primer término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es x.
• El segundo término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raíz cuadrada (sin considerar el signo) es 3.

Por lo tanto la factorización queda:

X2 - 9 = (x + 3) (x - 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión - 25s² + 4.

• El primer término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raíz cuadrada (sin considerar el signo) es 5s.
• El segundo término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es 2.
• Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresión quede en forma de diferencia.

De este modo la factorización queda:

- 25s² + 4 = 4 - 25s² = (2 + 5s) (2 - 5s)

Factorización De Trinomios:

Un binomio de la forma a² + 2ab + b² se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Para identificarlo se debe verificar que tenga dos términos cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raíz cuadrada) con signo positivo y que el otro término sea el doble del producto de la raíz cuadrada de los términos cuadrados. Este último término puede ser negativo o positivo. Se recomienda ordenar el trinomio escribiendo primero uno de los términos cuadrados, después el término del doble producto y finalmente el otro término cuadrado. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado y para realizarla se debe usar la identidad algebraica

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Esta identidad es la forma general. Para el caso particular en el cual 2ab tenga signo negativo se puede usar la siguiente identidad:

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Ejemplo. Encontrar los factores de x² + 4x + 4.

• El primer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es x.
• El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es 2.
• El segundo término tiene signo positivo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.

2(x) (2) = 4x

A partir de las consideraciones anteriores se concluye que x² + 4x + 4 sí es un trinomio cuadrado perfecto y se puede Factorizar como

X2 + 4x + 4 = (x + 2)²

Ejemplo. Factorizar la expresión 6pq - 4.5p² - 2q².
De primera instancia que esa expresión no es trinomio cuadrado perfecto, debido a que los dos términos que tienen variables al cuadrado son negativos. Si extraemos el factor −1, se puede reescribir la expresión como sigue:

6pq - 4.5p² - 2q² = (−1)(-6pq + 4.5p² + 2q²)

Si multiplicamos el primer factor por 1/2 y el segundo factor por 2 no se altera la expresión, porque 1/2 y 2 son recíprocos (su producto es 1).

6pq - 4.5p² - 2q² = (−1/2)(-12pq + 9p² + 4q²)

Para el segundo factor se tienen las siguientes consideraciones:

• El segundo término es cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es 3p.
• El tercer término es cuadrado, tiene signo positivo y su raíz cuadrada es 2q.
• El primer término tiene signo negativo y se puede expresar como el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.

2(3p) (2q) = 12pq

• Se puede cambiar el orden de los términos del segundo factor para escribirlo como un trinomio cuadrado perfecto.

Con esto se concluye que -12pq + 9p² + 4q² sí es un trinomio cuadrado perfecto la factorización de la expresión queda como

6pq - 4.5p² - 2q² = (−1/2)(9p² - 12pq + 4q²)
6pq - 4.5p² - 2q² = (−1/2)(3p - 2q)²

-Trinomio de la forma x² + bx + c

Un trinomio de la forma x² + bx + c se factoriza a la forma (x + d)(x + f) solo si es posible hallar dos números d y f que sumados su suma sea b y multiplicados su producto sea c. Este procedimiento se justifica porque:

(x + d)(x + f) = (x) (x) + (x)(f) + (d)(x) + (d)(f)
(x + d)(x + f) = x² + fx + dx + df
(x + d)(x + f) = x² + (d + f)x + df

Donde se observa que el segundo término es la suma de d y f y el tercer término es el producto de d y f.

Ejemplo. Factorizar la expresión x² + 5x + 6.
Para los números 2 y 3 la suma es 2 + 3 = 5 y el producto es 2 × 3 = 6, por lo cual es posible factorizar la expresión como

X2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Ejemplo. Factorizar la expresión x² - 6x + 8.
Para los números -2 y -4 la suma es (-2) + (-4) = - 2 - 4 = -6 y el producto es (-2) (-4) = 8, por lo cual es posible factorizar la expresión como

X2 - 6x + 8 = (x - 2) (x - 4)

Ejemplo. Factorizar la expresión x² + x - 30.
Para los números 6 y -5 la suma es (6) + (-5) = 6 - 5 = 1 y el producto es (6) (-5) = -30, por lo cual es posible factorizar la expresión como

X2 + x - 30 = (x + 6) (x - 5)